PARALELISMO

1. Retas paralelas
2. Reta paralela a um plano
3. Plano paralelo a uma reta
4. Planos paralelos (definidos ou não pelos traços)


1. Retas paralelas

ii1001
Desenha as projeções de duas retas paralelas, r e s.
- a reta s contém o ponto S (-3; 2; 3) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35° (ae) e 60° (ad) com o eixo x;
- a reta r contém o ponto R (1; 1; 4).
Determina as projeções dos traços da reta r nos planos de projeção e nos planos bissetores.

ii1001

Depois de marcar as projeções do ponto S, desenharam-se as projeções s1 e s2 da reta s, de acordo com os ângulos que fazem com o eixo x.
Marcou-se o ponto R.
Por R passa a reta r que é, de acordo com o enunciado, paralela à reta s.
Em dupla projeção ortogonal, a condição para que duas retas sejam paralelas é terem as projeções homónimas paralelas. Logo, por R1 desenhou-se r1, paralelamente a s1 e por R2, desenhou-se r2 paralelamente a s2.

No que respeita ao paralelismo, o problema está resolvido. Mas, falta determinar os traços da reta r nos planos bissetores (programa do 10º ano).

O ponto I, que é a interseção da reta r com β2,4, reconhece-se imediatamente — é um ponto da reta e tem projeções coincidentes (condição para que um ponto pertença a β2,4).

O ponto Q, que é a interseção da reta r com β1,3, pertence à reta e tem projeções simétricas, relativamente ao eixo x (condição para que um ponto pertença a β1,3, e foi obtido com o auxílio de uma pequena construção (construiu-se um ângulo de que se conhece um lado, r2 e a bissetriz, eixo x)

Para rever este assunto, consulte-se Traço no plano bissector dos diedros ímpares.

ii1002
Determina as projeções dos traços de uma reta de perfil a nos planos de projeção.
- a reta a é paralela à reta b;
- a reta b é definida pelos pontos F (2; 0; 5) e H (2; 6; 0);
- a reta a contém o ponto A (4; 2; 1,5).

ii1003
Desenha as projeções de duas retas de perfil paralelas, a e b.
- a reta a contém os pontos A (4; 2; 3,5) e B, com 4,5 cm de afastamento e 1 cm de cota;
- a reta b contém o ponto C (1; 6; 3).

ii1004
Desenha as projeções de duas retas paralelas, r e s.
- as retas r e s são de perfil;
- a reta r contém os pontos A (4; -3; 1) e B do β
1,3, com 5 cm de afastamento;
- a reta s contém o ponto C (0; -3; -2).

ii1005
Determina as projeções dos traços horizontal e frontal de uma reta de perfil p.
- a reta p contém o ponto P (5; 5; 2) e é paralela à reta a;
- a reta a pertence ao β
1,3 e contém o ponto A, com 2 cm de abcissa e 4 cm de afastamento.

ii1006
Determina os traços, nos planos de projeção, do plano α definido por duas retas paralelas, a e b.
- a reta a está contida no β
2,4 e interseta o eixo x no ponto R, com -2 cm de abcissa;
- a projeção horizontal da reta a faz um ângulo de 40° (ae) com o eixo x;
- a reta b contém o ponto P (0; 4; 2).

ii1007
Determina os traços, nos planos de projeção, do plano α definido por duas retas paralelas, a e b.
- as retas a e b são de perfil;
- a reta a contém o ponto A (4; 2,5; 1) e interseta o plano frontal de projeção no ponto F, com 4 cm de cota;
- a reta b contém o ponto B (1; 4,5; 3).

ii1052 (exame de 1982)
Determina as projecções de uma recta r paralela ao plano α e ao β1,3.
O plano α é oblíquo e os seus traços têm o ponto comum em N (0; 0; 0). Os traços horizontal e frontal de α fazem, respectivamente, ângulos de 30° (ae) e 60° (ad) com o eixo x.
A recta r contém o ponto A (-4; 3; 5,5).

ii1052


ii1053 (exame 2008 — 2ª fase)
Determine as projecções da recta b paralela ao plano α e ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).
o plano α é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
a recta b contém o ponto B (-5; 3; 2).

ii1053


2. Reta paralela a um plano

ii1008
Desenha as projeções de uma reta r paralela ao plano oblíquo α.
- o plano α interseta o eixo x no ponto de abcissa nula e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 50° (ad) com esse eixo;
- a reta r contém o ponto P (3; 4; 2) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 55° (ae) com o eixo x.

ii1009
Desenha as projeções de uma reta r paralela ao plano oblíquo α.
- o traço frontal do plano α contém o ponto R (-5; 0; 2) e interseta o eixo x num ponto com -3 cm de abcissa;
- o traço horizontal do plano a faz um ângulo de 30° (ae) com o eixo x;
- a reta r contém o ponto A do β
1,3 com 4 cm de abcissa e 3 cm de afastamento, e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x.

ii1010
Desenha as projeções de uma reta r paralela ao plano de rampa ρ.
- o traço horizontal do plano ρ tem 3 cm de afastamento e o traço frontal tem 4 cm de cota;
- a reta r contém o ponto P (-3; 4; 5) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 50° (ad) com o eixo x.


ii1011
Desenha as projeções de uma reta s paralela ao plano de rampa ρ.
- os traços horizontal e frontal do plano ρ têm, respetivamente, -5 cm de afastamento e 3 cm de cota;
- a reta s contém o ponto S (3; 2; 6) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 55° (ae) com o eixo x.


ii1012
Desenha as projeções de uma reta de perfil p paralela ao plano oblíquo α.
- o plano α interseta o eixo x num ponto com -1 cm de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ae) e 55° (ad) com esse eixo;
- a reta p contém o ponto P do β
1,3 com 2 cm de abcissa e 5 cm de afastamento.

ii1013
Desenha as projeções da reta r paralela ao plano oblíquo α.
- o plano α é definido por duas retas, a e b, concorrentes no ponto A (6; 1,5; 3);
- a reta a contém o ponto B (4; 2; 4) e a reta b contém o ponto C (2; 5; 3);
- a reta r é de perfil e contém o ponto R (-3; 2; 5).


ii1014
Determina os traços nos planos de projeção de uma reta p, de perfil, paralela ao plano ρ, de rampa.
- o plano de rampa ρ é definido pelo seu traço horizontal com 5,5 cm de afastamento e pelo seu traço frontal com -2 cm de cota;
- a reta p contém o ponto A (0; 4; 3).

ii1015
Determina os traços horizontal e frontal de uma reta de perfil p paralela ao plano passante δ.
- o plano δ é definido pelo eixo x e pelo ponto A (4; 3; 1,5);
- a reta p contém o ponto P (0; 2; 4).


ii1016
Determina os traços de uma reta de perfil p nos planos de projeção, sabendo que p contém o ponto P (0; 3; 6) e é paralela ao β1,3.

ii1017
Determina os traços de uma reta de perfil p nos planos de projeção, sabendo que p contém o ponto R (2; 1,5; 4) e é paralela ao β2,4.

ii1018
Determina os traços horizontal e frontal de uma reta de perfil p.
- a reta p contém o ponto S (4; 3; -3) e é paralela ao plano passante ρ;
- o plano ρ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 2; 3)
.

ii1019
Determina os traços de um plano γ nos planos de projeção.
- o plano γ é definido por uma das suas retas de maior inclinação i;
- a reta i é paralela ao β
2,4 contém o ponto A (2; 3; 2) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 35° (ae) com o eixo x.

ii1020
Determina os traços, nos planos de projeção, do plano α definido por uma das suas retas de maior declive d.
- a reta d é paralela ao β
1,3 e contém o ponto P (0; 4; 2);
- a projeção frontal da reta d faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x.

ii1021
Determina os traços, nos planos de projeção, do plano α definido por duas retas concorrentes, r e p.
- as retas são concorrentes no ponto P (0; 3; 5);
- a reta r é paralela ao β
2,4e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 45° (ad) com o eixo x;
- a reta p é de perfil e é paralela ao β
1,3.

ii1021


ii1022
Determina as projeções de uma reta r paralela ao plano α e ao β1,3
- o plano α é oblíquo e os seus traços horizontaI e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ae) e 60° (ad) com o eixo x;
- a reta r contém o ponto A, com 3 cm de afastamento e 1,5 cm de cota, e abcissa menor 4 cm do que a do ponto de interseção do plano α com o eixo x.

ii1022


ii1023
Desenha as projeções de uma reta r contida no plano oblíquo δ.
- o plano δ interseta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 50° (ad) e 35° (ad) com esse eixo;
- a reta r é paralela ao β
2,4 e contém o ponto P (4; 2).



3. Plano paralelo a uma reta

ii1024
Represente um plano α paralelo a uma reta r.
- a reta r contém os pontos A (-4; 3; 1,5) e B do β2,4 com -7 cm de abcissa e 4 cm de cota;
- o plano α contém a reta oblíqua s;
- a reta s contém o ponto S (2; 4; 2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 50° (ad) e 60° (ae) com o eixo x.
Determina os traços do plano α nos planos de projeção.

ii1025
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α paralelo à reta r.
- a reta r contém o ponto R (4; 1,5; 2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35° (ae) e 50° (ad) com o eixo x;
- o plano α contém a reta horizontal h;
- a reta h contém o ponto A (-2; 2; 3) e faz um ângulo de 60° (ad) com o plano frontal de projeção.


ii1026
Determina os traços de um plano δ nos planos de projeção.
- o plano δ é paralelo à reta a;
- a reta a contém o ponto A (3; 4; 2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 55° (ad) e 45° (ad) com o eixo x;
- o plano δ contém o ponto P (-3; 3; 4) e o seu traço frontal faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x.


ii1027
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano δ paralelo à reta r.
- a reta r contém o ponto P (-4; 2; 1,5) e o seu traço horizontal tem -2 cm de abcissa e 4 cm de afastamento;
- o plano δ contém a reta fronto-horizontal m, com 3 cm de afastamento e 2 cm de cota.


ii1028
Determina os traços de um plano α nos planos de projeção.
- o plano α é paralelo à reta frontal (de frente) f;
- a reta f faz um ângulo de 60° (ad) com o plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal tem 3 cm de abcissa e 2 cm de afastamento;
- o plano α contém o ponto P do β
1,3 com -3 cm de abcissa e 4 cm de afastamento, e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x.

ii1028


ii1029
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α paralelo à reta horizontal h.
- a reta h contém os pontos A (4; 2; 4) e B, com 2 cm de abcissa e -1 cm de afastamento;
- o plano α contém a reta oblíqua s pertencente ao β
2,4;
- a reta s interseta o eixo x num ponto com -5 cm de abcissa e a sua projeção horizontal faz, com esse eixo, um ângulo de 60° (ad).

ii1030
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α paralelo à reta a.
- a reta a contém o ponto A (-4; 4; 2), é paralela ao β
1,3 e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 50° (ad) com o eixo x;
- o plano α contém o ponto P (2; 3; 3) e o seu traço horizontal faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x.

ii1030


ii1031
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α paralelo à reta de perfil p.
- a reta p está contida no β
2,4 e tem 6 cm de abcissa;
- o plano α contém a reta oblíqua r;
- a reta r contém o ponto R (1; 2; 4) e o seu traço frontal tem 3 cm de abcissa e 2 cm de cota.

ii1046
Representa um plano α paralelo a uma recta r, sabendo que:
a recta r contém os pontos A (-4; 3; 1,5) e B, do β2,4, com -7 de abcissa e 4 de cota;
o plano α contém a recta oblíqua s;
a recta s contém o ponto S (2; 4; 2) e as suas projecções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 50° (ad) e 60° (ae) com o eixo x.
Determina os traços do plano α nos planos de projecção.

ii1046

ii1047
Representa um plano α paralelo a uma recta r, sabendo que:
a recta r contém o ponto R (4; 1,5; 2) e as suas projecções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 35° (ae) e 50° (ad) com o eixo x;
o plano α contém a recta horizontal h;
a recta h contém o ponto A (-2; 2; 3) e faz um ângulo de 60° (ad) com o plano frontal de projecção.
Determina os traços do plano α nos planos de projecção.

ii1047

ii1049
Determina os traços horizontal e frontal de um plano α, sabendo que:
o plano α é paralelo à recta recta r;
a recta r contém os pontos A (5; -4; 4) e B (1; 5; -5);
o plano α contém os pontos C (1; 0; 0) e D (-4; 2; 4).

ii1049

ii1050

Determina os traços horizontal e frontal de um plano α, sabendo que:
o plano α é paralelo à recta r;
a recta r é passante em A com 7 de abcissa e passa por B (3; 2; 4);
o plano α contém os pontos C (1; 0; 0) e D (-4; 4; 4).

ii1050


4. Planos paralelos (definidos ou não pelos traços)

ii1032
Representa um plano α paralelo ao plano δ.
- o plano δ é definido por duas retas, r e s, concorrentes no ponto R (-4; 4; 3);
- as projeções horizontal e frontal da reta r fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ad) e 50° (ae) com o eixo x;
- a reta s contém o ponto S (-2; 2,5; 1);
- o plano 
α contém o ponto A (4; 3; 2).

ii1033
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α paralelo ao plano oblíquo δ, sabendo
que:
- o plano δ interseta o eixo x num ponto com -2 cm de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 50° (ad) com esse eixo;
- o plano α contém o ponto A (0; 3; 2).


ii1034
Determina os traços de um plano α nos planos de projeção.
- o plano α contém o ponto P (-5; -1; 4) e é paralelo ao plano oblíquo δ;
- os traços horizontal e frontal do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 35° (ae) e 60° (ad) com o eixo x e intersetam-se num ponto com 2 cm de abcissa.


ii1035
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α paralelo ao plano oblíquo δ.
- o plano δ é definido pelo ponto R e pela reta horizontal h;
- o ponto R pertence ao eixo x e tem abcissa nula;
- a reta h contém o ponto P (2; 2; 4) e faz um ângulo de 45° (ad) com o plano frontal de projeção;
- o plano α contém o ponto A (-3; 1; 3).


ii1036
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α paralelo ao plano oblíquo δ.
- o plano δ contém as retas h e f, concorrentes no ponto A (3; 3; 2);
- a reta h é horizontal e faz um ângulo de 55° (ad) com o plano frontal de projeção;
- a reta f é frontal e faz um ângulo de 45° (ae) com o plano horizontal de projeção;
- o plano α contém o ponto P (-2; 2; 4).

ii1036



ii1037
Represente um plano de topo θ por duas retas concorrentes, f e r.
- o plano θ é paralelo ao plano α;
- o plano α interseta o eixo x num ponto com -2 cm de abcissa e faz um diedro de 45° (ad) com o plano horizontal de projeção;
- as retas f e r são concorrentes no ponto P (3; 4; 2);
- a reta f é frontal e a reta r é oblíqua e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x.


ii1038
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α paralelo ao plano oblíquo δ.
- o plano δ é definido por uma das suas retas de maior inclinação i;
- a reta i interseta o plano horizontal de projeção no ponto H, com abcissa nula e 5 cm de afastamento, e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ae) e 45° (ad) com o eixo x;
- o plano α contém o ponto A (2; 4; -1,5).

ii1038 copy


ii1039
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano θ paralelo ao plano de rampa ρ.
- o traço horizontal do plano ρ tem 4 cm de afastamento e o traço frontal tem 3 cm de cota;
- o plano θ contém o ponto P (2; 3; 2,5).


ii1040
Determina o traço frontal do plano de rampa ρ.
- o plano ρ é paralelo ao plano ρ’;
- os traços horizontal e frontal do plano ρ’ têm, respetivamente, 5 cm de afastamento e 2,5 cm de cota;
- o traço horizontal do plano ρ tem -4 cm de afastamento.


ii1041
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano de rampa ρ, paralelo ao plano passante δ.
- o plano δ é definido pelo eixo x e pelo ponto A (3; 2; 4);
- o plano ρ contém o ponto P (0; 4; 3).


ii1042
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano θ paralelo a um plano ρ.
- o plano ρ é definido pelos pontos A (5; 5; 3), B (1; 5; 3) e C (2,5; 3; 5,5);
- o plano θ contém o ponto P do β1,3 com -4 cm de abcissa e 2 cm de afastamento.

ii1043
Determina os traços do plano de rampa ρ nos planos de projeção, sabendo que o plano ρ contém o ponto A (0; 3; 1,5) e é paralelo ao β2,4.

ii1044
Determina os traços do plano de rampa ρ nos planos de projeção, sabendo que o plano ρ é paralelo ao β1,3 e contém a reta fronto-horizontal m, com 5 cm de afastamento e 2 cm de cota.

ii1045
Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos de rampa, ρ e ρ’.
- o plano ρ é paralelo ao β
2,4 e o seu traço horizontal tem 5 cm de afastamento;
- o plano ρ é paralelo ao β
1,3 e o seu traço horizontal tem 2 cm de afastamento

ii1048
Determina os traços horizontal e frontal de um plano β paralelo ao plano α, sabendo que:
o plano α é definido pela recta frontal f e pelo ponto A (0; 3; 2);
a recta f contém o ponto B (-4; -4; 4) e faz um ângulo de 45° (ae) com o plano horizontal de projecção;
os traços do plano β são concorrentes no ponto C, com 2 cm de abcissa.

ii1048

ii1051 (exame de 2010 — 2.ª fase)
Determina os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.
O plano α é definido pelas rectas a e b;
a recta a contém o ponto S (3; 5; 3) e as suas projecções horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos de 45° (ad) e 30° (ae), respectivamente;
a recta b pertence a β1,3 e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30° (ad).
O plano π contém o ponto P (-6; 3; -4).

ii1051


© José-António Moreira