FIGURAS PLANAS III

Figuras planas em planos oblíquos


ii5001
Desenha as projecções do triângulo equilátero [ABC], situado no 1.° diedro e contido num plano oblíquo α.
α é ortogonal ao β2,4 e intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula;
A pertence ao plano frontal de projecção e tem 2 cm de abcissa e 4 cm de cota;
• o lado [AB] faz um ângulo de 40° com o traço frontal do plano α e o vértice B tem cota nula.

ii5001


ii5002
Desenha as projecções do rectângulo [ABCD], situado no 1.° diedro e contido num plano de rampa ρ, sabendo que os traços horizontal e frontal do plano ρ têm, respectivamente, 4 cm de afastamento e 6,5 cm de cota.
• o vértice
A do rectângulo pertence ao traço frontal do plano ρ tem 3 cm de abcissa;
• o vértice
B pertence ao β1,3 e tem 5 cm de abcissa;
• o lado [AB] é um lados maiores do rectângulo;
• o vértice D tem abcissa nula.

ii5002


ii5003
Desenha as projecções do rectângulo [ABCD], situado no 1.° diedro e contido num plano oblíquo α.
• os traços horizontal e frontal do plano
α fazem, respectivamente, ângulos de 40° (ae) e 60° (ad) com o eixo x e são concorrentes no ponto de abcissa nula.
• o vértice
A do rectângulo tem afastamento nulo e 3 cm de cota e o vértice B, consecutivo de A, pertence ao traço horizontal do plano α e tem 2,5 cm de afastamento;
• o lado [
AD] da figura mede 8 cm.

ii5003


ii5004
Desenha as projecções de uma circunferência contida num plano oblíquo α.
• o plano
α intersecta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 45° (ad) e 60° (ad) com esse eixo;
• a circunferência é tangente ao traço horizontal do plano
α e o seu centro é o ponto Q (4; 3).

ii5004


ii5005
Desenha as projecções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano oblíquo α, sabendo que o plano α intersecta o eixo x num ponto com 6 cm de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, com esse eixo, ângulos de 50° (ad) e 35° (ad), respectivamente.
• os pontos
A, com 3,5 cm de afastamento e 4 cm de cota, e D, são os extremos de uma diagonal maior do hexágono;
• a diagonal [
AD] está contida numa recta de maior declive do plano α e o ponto D tem cota nula.

ii5005


ii5006
Desenha as projecções do quadrado [ABCD], situado no 1.° diedro e contido num plano de rampa ρ.
• a diagonal [
AC] do quadrado pertence ao β1,3 e mede 6 cm;
• o ponto A tem 7 cm de abcissa e 3 cm de afastamento e é o vértice de maior abcissa do quadrado;
• o plano ρ faz um diedro de 50° com o plano horizontal de projecção.

ii5006


ii5007
É dado um plano oblíquo α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45° (ad) com o eixo x, intersetando-o no ponto com 3 de abcissa.
• o ponto
A (4; 0) é um vértice de um triângulo equilátero [ABC] contido em α.
• o triângulo, tem 6 de lado e o vértice
B tem afastamento nulo.
• sobre o plano
α, sabe-se, ainda, que o ângulo entre os dois traços do plano é de 70°.
Desenha as projecções do triângulo que se situa, na totalidade, no espaço do 1.º diedro.

ii5007


ii5008
Desenha as projecções de um triângulo [ABC] situado no 1.º diedro.
• o triângulo é equilátero e está inscrito numa circunferência com centro no ponto
Q (4; 3; 2) e um dos seus vértices é o ponto A (6; 1; 4).
• o triângulo pertence a um plano oblíquo
ω, cujo traço horizontal faz um ângulo de 55° com o eixo x (ae).

ii5008


ii5009
Desenha as projecções de um quadrado [ABCD] situado no 1.º diedro e contido no plano de rampa ρ.
• o traço horizontal do plano
ρ tem 4,5 de afastamento;
• o ponto
A (2; 1; 5) é o vértice de maior abcissa do quadrado;
• o vértice
B, consecutivo de A, pertence ao traço frontal do plano ρ;
• os lados do quadrado medem 5 de comprimento.

ii5009


ii5010
Desenha as projecções de um quadrado [ABCD] situado no 1.º diedro e contido no plano passante ρ, definido pelo eixo x e pelo ponto P (5; 3; 4).
• o ponto
A tem 1 de abcissa e 2 de cota;
• os lados do quadrado medem 5;
• o lado [
AB], do quadrado, faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x.

ii5010


ii5011
É dado um plano oblíquo α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45° (ad) com o eixo x. O ponto A (-1; 4; 0) é um vértice de um quadrado [ABCD] contido em α. O quadrado, tem 6 de lado e o vértice B tem afastamento nulo. Sobre o plano α, sabe-se, ainda, que o ângulo entre os dois traços do plano é de 70°.
Desenha as projecções do quadrado que se situa, na totalidade, no espaço do 1.º diedro.

ii5011


ii5012 (exame 2007 — 2.ª fase)
Representa, pelas suas projecções, horizontal e frontal, o rectângulo [ABCD] do 1.º diedro e contido num plano de rampa δ.
• o traço horizontal
do plano de rampa tem 6 de afastamento.
• o vértice
A pertence ao plano frontal de projecção, tem 2 de abcissa e 4 de cota;
• o lado [
AB] faz, com o traço frontal do plano δ, um ângulo de 35°, com abertura para a direita, e é um dos lados maiores do rectângulo.
• os lados medem 3 cm e 6 cm.

ii5012a


ii5012b


ii5013 (exame de 2010 — 1.ª fase)
Determina as projecções do triângulo [LMN].
• o triângulo está situado no 1.º diedro e o ponto
L (4; 2; 4) é um dos seus vértices.
• o lado [
LM] é frontal e mede 7 cm;
• o lado [
MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;
• o lado [
LN] mede 8 cm;
• o ponto
N é o vértice de menor cota.

ii5013a


ii5013b


ii5014 (exame de 2006 — 2.ª fase)
Representa, pelas suas projecções, horizontal e frontal, o quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo β.
• o ponto
A (-5,5; 5; 3) é um dos vértices do quadrado;
• o vértice
C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;
• a diagonal [
AC] pertence a uma recta oblíqua passante b;
• o traço horizontal
do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45°, com abertura para a direita.

ii5014


ii5015 (exame de 2008 — 1.ª fase)
Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.
• o ponto
A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;

• o lado [BC] pertence à recta s;
• o ponto
F, traço frontal da recta s, tem -6 de abcissa e -4 de cota;
• as projecções, horizontal e frontal, da recta
s fazem, ambas, ângulos de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• os lados [
AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

ii5015


Desenha as projeções do triângulo equilátero [ABC], situado no 1.° diedro.
• o triângulo está contido num plano oblíquo δ, cujos traços se intersetam num ponto com 2 de abcissa;
• os traços horizontal e frontal do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 50° (ad) com o eixo x;
• o vértice A do triângulo pertence ao traço frontal do plano a e tem 3,5 de cota;
• o vértice B pertence ao traço horizontal do plano a e tem 5 de afastamento.

Desenha as projeções do quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo δ.
• o plano δ interseta o eixo x num ponto com 4 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 40° (ad) e 45° (ad) com esse eixo;
• os pontos A (0; 5) e C (5; 2) são dois vértices opostos do quadrado.

Desenha as projeções do triângulo equilátero [ABC], situado no 1.° diedro e contido num plano oblíquo δ.
• os traços horizontal e frontal do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ae) e 50° (ae) com o eixo x e são concorrentes num ponto com -3 de abcissa;
• 9 vértice A do triângulo tem 6 de afastamento e 1 de cota;
• o vértice B pertence ao β
1,3 e tem 2 de afastamento.

Desenha as projeções do quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo δ.
• o traço frontal do plano δ interseta o eixo x num ponto com 3 de abcissa e faz, com esse eixo, um ângulo de 60° (ad);
• o quadrado está inscrito numa circunferência com centro no ponto Q (-2; 4; 3);
• a circunferência é tangente ao traço horizontal do plano δ;
• o vértice A tem cota nula.

Desenha as projeções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano oblíquo δ.
• o plano δ interseta o eixo x num ponto com -3 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 40° (ae) e 60° (ae) com esse eixo;
• o centro do hexágono é o ponto Q do β
1,3 com 4 de afastamento;
• os lados da figura medem 3 e dois dos lados são frontais.

Desenha as projeções do triângulo equilátero [ABC], situado no 1.° diedro e contido num plano oblíquo δ.
• os traços horizontal e frontal do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ad) e 40° (ad) com o eixo x e intersetam-se num ponto com 2 de abcissa;
- o vértice A do triângulo tem 4 de afastamento e cota nula;
• o vértice B tem afastamento nulo;
• os lados do triângulo medem 6 cm.

Desenha as projeções do losango [ABCD], contido num plano oblíquo δ.
• o plano δ é perpendicular ao β
1,3 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 55° (ad) com o eixo x;
• o vértice A do losango pertence ao traço frontal do plano a e tem -2 de abcissa e 6 de cota;
• o vértice C tem -3 de abcissa e cota nula;
• a diagonal [BD] da figura mede 5 cm.

Desenha as projeções do retângulo [ABCD], contido num plano oblíquo δ.
• o plano δ interseta o eixo x num ponto com 3 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 55° (ad) e 40° (ad) com esse eixo;
• o retângulo está inscrito numa circunferência com centro no ponto Q, com 2,5 de afastamento e 3 de cota;
• o vértice A tem 5 de cota e pertence ao traço frontal do plano δ;
• o lado [AB] da figura faz um ângulo de 70° com o traço frontal do plano δ e o vértice B situa-se à direita do vértice A.

Desenha as projeções do pentágono regular [ABCDE], contido num plano oblíquo δ.
• o plano δ é perpendicular ao β
1,3 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x;
• o pentágono está inscrito numa circunferência com 3 de raio e centro no ponto
Q (3; 3; 4);
• o lado de menor cota da figura é horizontal.

Desenha as projeções do triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo δ.
• o traço frontal do plano δ interseta o eixo x num ponto com 2 de abcissa e faz, com esse eixo, um ângulo de 50° (ad);
• o lado [AB] do triângulo está contido numa reta horizontal que faz um ângulo
de 60° (ad) com o plano frontal de projeção e tem 5 de cota;
• o vértice A tem afastamento nulo e o vértice B pertence ao β
1,3;
• o vértice C é o de menor cota do triângulo.

Desenha as projeções de um quadrado situado no 1.° diedro e contido num plano oblíquo δ.
• os pontos A (0; 1,5; 3) e B (-3; 4,5; 1) são dois vértices do quadrado;
• o lado [AB] pertence a uma reta de maior inclinação do plano δ.

Desenha as projeções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano oblíquo δ.
• o plano δ interseta o eixo x num ponto com 3 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, com esse eixo, ângulos de 50° (ad) e 35° (ad), respetivamente;
• os pontos A, com 3,5 de afastamento e 4 de cota, e D, são os extremos de uma diagonal maior do hexágono;
• a diagonal [AD] está contida numa reta de maior declive do plano δ e o ponto D tem cota nula.

Desenha as projeções do retângulo [ABCD], situado no 1.° diedro e contido num plano oblíquo δ.
• os traços horizontal e frontal do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40° (ae) e 60° (ad) com o eixo x e são concorrentes no ponto de abcissa nula;
• o vértice A do retângulo tem abcissa nula e 3 de cota;
• o vértice B, consecutivo de A, pertence ao traço horizontal do plano δ e tem 2,5 de afastamento;
• o lado [AD] da figura mede 6 cm.

Desenha as projeções do triângulo equilátero [ABC], situado no 1.° diedro e contido num plano oblíquo δ.
• o plano δ é perpendicular ao β
2,4 e interseta o eixo x no ponto de abcissa nula;
• o vértice A do triângulo pertence ao plano frontal de projeção e tem 2 de abcissa e 4 de cota;
• o lado [AB] da figura faz um ângulo de 40° com o traço frontal do plano δ e o vértice B tem cota nula.

Desenha as projeções de uma circunferência contida num plano oblíquo δ.
• o plano δ interseta o eixo x num ponto com 3 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 60° (ad) com esse eixo;
• a circunferência é tangente ao traço horizontal do plano δ e o seu centro é o ponto Q (4; 3).

Desenha as projeções de uma circunferência contida num plano oblíquo δ.
• o plano δ é ortogonal ao β
1,3 e o seu traço horizontal interseta o eixo x num ponto com 3 de abcissa e faz, com esse eixo, um ângulo de 50° (ad);
• a circunferência tem 3 de raio e o seu centro é o ponto Q do β
1,3 com 3,5 de afastamento.

Desenha as projeções de uma circunferência com 3 de raio, contida num plano oblíquo δ.
• os traços horizontal e frontal do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 35° (ae) e 60° (ad) com o eixo x e intersetam-se no ponto de O abcissa nula;
• o centro da circunferência é o ponto Q (4; 5).

Representa o quadrado [ABCD], situado no 1.° diedro.
• o quadrado está contido num plano de rampa;
• os pontos A (1; 1; 7) e C (-1; 4; 2) definem uma das diagonais do quadrado.
Exame Nacional (2005)

Desenha as projeções de um triângulo equilátero contido num plano de rampa δ.
• os pontos A (0; 0; 6) e B (2; 3; 1,5) são dois vértices do triângulo;
• o vértice C situa-se à direita do lado [AB].

Desenha as projeções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano de rampa δ.
• o plano δ é perpendicular ao β
1,3 e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento;
• o centro do hexágono é o ponto Q, com -1 de abcissa e 2,5 de cota;
• o vértice A tem 1 de abcissa e 4 de cota.

Representa o losango [ABCD], situado no 1.° diedro.
• o losango está contido num plano de rampa δ, cujo traço horizontal tem 7 de afastamento;
• o vértice A pertence ao traço frontal do plano e tem -2 de abcissa e 5 de cota;
• o vértice C tem 2 de abcissa e 1 de cota;
• [AC] é uma diagonal do losango;
• a diagonal [BD] do losango mede 6 cm.
Exame Naciona (2004)

Desenha as projeções do triângulo equilátero [ABC], contido num plano de rampa δ,.
• o plano δ é perpendicular ao β
1,3 e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento;
• o triângulo está inscrito numa circunferência de centro no ponto Q, com abcissa nula e 2 de cota;
• o vértice A tem 2 de abcissa e cota nula.

Desenha as projeções do retângulo [ABCD], contido num plano de rampa δ.
• o vértice A pertence ao traço horizontal do plano δ e tem -2 de abcissa e 5 de
afastamento;
• o vértice B, consecutivo de A, pertence ao β
1,3 e tem 2 de abcissa e 2 de afastamento;
• o vértice C tem afastamento nulo.

Desenha as projeções do quadrado [ABCD], contido num plano de rampa δ.
• os traços horizontal e frontal do plano δ têm, respetivamente, 6 de afastamento e 4,5 de cota;
• o quadrado está inscrito numa circunferência com 3,5 de raio, cujo centro é o ponto Q, com 2 de abcissa e 3,5 de afastamento;
• o vértice A tem cota nula e situa-se à direita do ponto Q.

Desenha as projeções do triângulo equilátero [ABC], situado no 1.º diedro e contido num plano de rampa δ.
• o traço horizontal do plano δ tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 5 de cota;
• os lados do triângulo medem 5,5 cm;
• o vértice A pertence ao traço frontal do plano δ e tem abcissa nula;
• o lado [AB] do triângulo é de perfil e o vértice C é o de maior abcissa da figura.

Desenha as projeções de um triângulo isósceles contido num plano de rampa δ.
• o traço frontal do plano δ tem 5 de cota;
• o ponto A (0; 4; 0) é um dos vértices do triângulo;
• o lado [AB] da figura mede 5 e faz um ângulo de 40
° com o traço horizontal do plano δ;
• o vértice B situa-se à direita do vértice A;
• os lados [AC] e [BC] são iguais entre si e o vértice C tem afastamento nulo.

Desenha as projeções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano de rampa δ.
• o traço horizontal do plano δ tem 4 de afastamento;
• os pontos A (3; 0; 6) e D, com 3 de abcissa e 1 de cota, são os extremos de uma diagonal maior do hexágono.

Desenha as projeções do pentágono regular [ABCDE], contido num plano de rampa δ.
• o traço horizontal do plano δ tem 5 de afastamento;
• o plano δ faz um diedro de 50° com o plano horizontal de projeção e o seu traço frontal tem cota positiva;
• o pentágono está inscrito numa circunferência com 3 de raio e centro no ponto Q, com 3 de abcissa e 3 de cota;
• o vértice A tem abcissa nula.

Desenha as projeções do quadrado [ABCD], situado no 1.° diedro e contido num plano de rampa δ.
• a diagonal [AC] do quadrado pertence ao β
1,3 e mede 6 cm;
• o ponto A tem 7 de abcissa e 3 de afastamento e é o vértice de maior abcissa do quadrado;
• o plano δ faz um diedro de 50° com o plano horizontal de projeção e o seu traço frontal tem cota positiva.

Desenha as projeções do retângulo [ABCD], situado no 1.° diedro e contido num plano de rampa δ.
• os traços horizontal e frontal do plano δ têm, respetivamente, 4 de afastamento e 6,5 de cota;
• o vértice A do retângulo pertence ao traço frontal do plano δ e tem 3 de abcissa;
• o vértice B pertence ao β
1,3 e tem 5 de abcissa;
• o lado [AB] é um lados maiores do retângulo;
• o vértice Q tem abcissa nula.

Desenha as projeções de uma circunferência, situada no 1. ° diedro e contida num plano de rampa δ.
• o traço horizontal do plano δ tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;
• a circunferência tem 3 de raio e é tangente ao traço frontal do plano δ.

Desenha as projeções de uma circunferência contida num plano de rampa δ.
• o plano δ é perpendicular ao β
1,3 e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento;
• o segmento [AQ] é um dos raios da circunferência;
• o ponto Q, com abcissa nula e 2,5 de cota, é o centro da circunferência e o ponto A tem 2 de abcissa e 3,5 de cota,

Desenha as projeções de uma circunferência, situada no 1.° diedro e contida num plano de rampa δ.
• o traço frontal do plano δ tem 4 de cota;
• o plano δ faz um diedro de 50° com o plano frontal de projeção e o seu traço horizontal tem afastamento positivo;
• a circunferência é tangente aos planos horizontal e frontal de projeção.

Desenha as projeções do quadrado [ABCD], contido num plano passante.
• o centro do quadrado é o ponto Q (0; 3; 4);
• o vértice A tem 3 de abcissa e 2 de afastamento.

Desenha as projeções do losango [ABCD], contido num plano passante δ.
• o ponto M (-1; 2; 3,5) é o centro do losango;
• o vértice A pertence ao eixo x e tem -3 de abcissa;
• a diagonal [BD] da figura mede 7 cm.

Desenha as projeções de um triângulo isósceles [ABC], contido num plano passante δ.
• o ponto A (-2; 3; 5) é o vértice de menor abcissa do triângulo;
• o lado [AB] mede 7 e o vértice B pertence ao eixo x;
• os lados [AC] e [BC] da figura medem 6 cm.

Desenha as projeções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano passante δ.
• o hexágono está inscrito numa circunferência com 3 de raio, cujo centro é o ponto Q (0; 3; 4);
• dois lados da figura são de perfil.

Desenha as projeções do retângulo [ABCD], situado no 1.° diedro e contido no β
1,3.
• os lados do retângulo medem 6 e 4 cm;
• o vértice A tem -2 de abcissa e 4 de cota;
• o lado [AB] é um lados maiores da figura e está contido numa reta r cuja projeção frontal faz um ângulo de 30° (ad) com o eixo x;
• o vértice B é o de menor cota do retângulo.

Desenha as projeções do quadrado [ABCD], situado no 1.° diedro e contido num plano passante δ.
• o plano δ faz um diedro de 35° com o plano horizontal de projeção;
• o ponto A, com 6 de abcissa e 2 de cota, é um dos vértices de maior abcissa do quadrado;
• as diagonais da figura medem 7 e estão contidas em retas que fazem ângulos de 45° com o eixo x.

Desenha as projeções do pentágono regular [ABCDE], contido num plano passante δ.
• o plano δ faz um diedro de 60° com o plano horizontal de projeção;
• o pentágono está inscrito numa circunferência com 3,5 de raio, cujo centro é o ponto Q, com 3 de abcissa e 5 de cota;
• o lado de maior cota da figura é fronto-horizontal.

Desenha as projeções de uma circunferência com 3 de raio, contida num plano passante, sabendo que o seu centro é o ponto Q (0; 3; 4).

Desenha as projeções de uma circunferência contida num plano passante δ.
• o plano p faz um diedro de 55° com o plano horizontal de projeção;
• a circunferência tem 3 de raio e o seu centro é o ponto Q, com 3 de abcissa e
5 de cota.

Desenha as projeções de uma circunferência contida no β
1,3.
• o ponto A, com 1 de abcissa e 2,5 de cota, é o extremo de menor cota do diâmetro [AB] da circunferência;
• [AB] mede 6 e está contido numa reta r cuja projeção frontal faz um ângulo de 25° (ad) com o eixo x.

© José-António Moreira