PROBLEMAS MÉTRICOS

1. Distâncias entre pontos  
2. Distância entre um ponto e uma reta
3. Distância entre um ponto e um plano
4. Distância entre duas retas
5. Distância entre uma reta e um plano
6. Distância entre dois planos
7. Ângulo entre duas retas complanares
8. Ângulo entre duas retas enviesadas
9. Ângulo entre uma reta e um plano
10. Retilíneo de um diedro



1. Distâncias entre pontos

ii4017
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância entre os pontos A e B.
• os pontos A e B pertencem à reta de interseção i do plano oblíquo α com o β1,3;
• os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 35° (ae) e 60° (ad) com o eixo x e são concorrentes no ponto N de abcissa nula;
• o ponto A situa-se no eixo x e o ponto B tem 4 de abcissa.

ii4017


ii4021
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância entre os pontos A e B.
• os pontos A e B pertencem à reta de interseção i do plano oblíquo α com o β2,4;
• os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 35° (ae) e 60° (ad) com o eixo x e são concorrentes no ponto N de abcissa nula;
• o ponto A situa-se no eixo x e o ponto B tem 4 de abcissa.

ii4021



2. Distância entre um ponto e uma reta

ii4004
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P à reta oblíqua r.
• P (-2; 3; 2);
• a reta r é passante e interseta o eixo x num ponto com 5 de abcissa;
• as projeções horizontal e frontal da reta r fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 50° (ad) com o eixo x.

ii4004


ii4009
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P à reta s.
• s contém o ponto S (-1; 2; 6) e as suas projeções horizontal e frontal, fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ae) e 45° (ad) com o eixo x;
P (-2; 6; 2).

ii4009


ii4016
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P à reta r.
• P (-3; 3; 6);
•  a reta r contém o ponto A (2; 3; 4) e interseta o plano horizontal de projeção no ponto H com -3 de abcissa;
• as projeções horizontal e frontal da reta r são paralelas entre si.

ii4016


ii4022
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto A à reta a.
• a reta a está contida no β1,3 e interseta o eixo x no ponto N com 6 de abcissa.
• a projeção horizontal da reta a faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x.
• o ponto A pertence ao plano horizontal de projeção e tem -3 de abcissa e 3 de afastamento.

Proposta 1

ii4022a


Proposta 2

ii4022b


ii4023
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto A à reta de perfil p.
A (5; 6; 4) e o traço frontal da reta p é o ponto F (1; 0; 6) e o traço horizontal é o ponto H, com 5 de afastamento.

Proposta 1

ii4023a

Proposta 2

ii4023b



3. Distância entre um ponto e um plano

ii4001
Determina graficamente a distância do ponto P ao plano oblíquo α.
• o ponto P pertence ao β1,3 e tem 3 de abcissa e 7 de cota;
• o plano α intersecta x no ponto N, com 3 de abcissa;
• os traços horizontal e frontal do plano α fazem, ambos, ângulos de 45° (ad) com o eixo x.

ii4001


ii4002
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.
• P (0; -7; 2);
• o plano α é ortogonal ao β1,3 e o seu traço horizontal interseta o eixo x num ponto com -6 cm de abcissa e faz, com esse eixo, um ângulo de 30° (ae).


ii4003
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P (0; 7; 7) ao plano α definido pelos pontos A (3; 2; 3), B (0; 4; 3) e C (-4; 1; 8).
Resolve o problema sem determinar os traços do plano.

ii4003


ii4006
Determina a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α.
P (0; 7; 4);
• o traço frontal do plano α contém o ponto R (4,5; 0; 5) e interseta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa;
• o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 30° (ad) com o eixo x.

ii4006


ii4008
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α.
• P (-2; 2; 7);
• o plano α é definido pelo ponto R e pela recta frontal f;
• o ponto R pertence ao eixo x e tem 2 cm de abcissa;
• a recta f faz um ângulo de 45° (ae) com o plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal tem -2 cm de abcissa e 4 cm de afastamento.

ii4008


ii4010
Determina as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P (0; 7; 8) ao plano α definido pelos pontos A (-3; 2; 3), B (0; 4; 3) e C (4; 1; 8).
Resolve o problema sem determinar os traços do plano.

ii4010


ii4013
Determina as projecções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.
• o plano α contém os pontos A (0; 4; 7) e B pertencente a β2,4, com 4 de abcissa e 2 de cota;
• o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x;
• o ponto P pertence ao plano frontal de projecção e tem -4 de abcissa e 5 de cota.

ii4013



6. Distância entre dois planos

ii4018
Determina graficamente a distância entre os planos paralelos α e β.
o plano α contém a reta horizontal n que interseta o plano frontal de projeção no ponto Fn (0; 0; 8) e cuja projeção horizontal faz um ângulo de 60° (ad) com o eixo x;
o plano β contém uma reta oblíqua b, cujos traços nos planos de projeção são os pontos H (3; 4; 0) e Fb (-3; 0; 6).

ii4018



7. Ângulo entre duas retas complanares

ii4007
Determina graficamente a amplitude do ângulo formado pelas retas f e b. 
• as retas são concorrentes no ponto P (0; -4; 4);
• a reta f é frontal e faz um ângulo de 20° (ad) com o plano horizontal de projeção;
• a reta b está contida no β2,4 e a sua projeção frontal faz um ângulo de 45° (ad) com o eixo x.

ii4007


ii4014
Considera o plano α, definido pelo ponto A (2; 4; 0) e pela sua reta de nível n com 3 de cota, cujo traço frontal F tem -2 de abcissa e que faz um ângulo de 30° (ae) com o plano frontal de projeção.
Determina a verdadeira grandeza do ângulo μ° formado pelos traços do plano α.
Determina as projecções da recta r que é a bissetriz do ângulo μ.

ii4014


ii4015
Determina a verdadeira grandeza da amplitude do ângulo formado pelas retas d e f, contidas no plano oblíquo α.
• o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x, intersetando-o num ponto N com 5 de abcissa;
• as retas d e f são concorrentes no ponto P (-3; 3; 4);
• a reta f é uma reta frontal e a reta d é uma reta de maior declive do plano α.

ii4015


ii4020
Representa pelas suas projeções a reta r definida pelos pontos A (2; 5; 3) e B (0; 8; 5) e a reta s definida pelo ponto C (-3; 7; 2) e concorrente com a reta r no ponto B. Determina a verdadeira grandeza do ângulo entre as retas r e s.

ii4020



8. Ângulo entre duas retas enviesadas

ii4005
Determina a verdadeira grandeza da amplitude do ângulo formado pelas direções de duas retas enviesadas r e s, sabendo que a reta r é definida pelos pontos A (0; 2; 5) e B (-4; 3; 1) e a reta s é definida pelos pontos C (4; 0; 4) e D (6; 4; 1).

ii4005



9. Ângulo entre uma reta e um plano

ii4011
Desenha as projecções de uma reta r contida no β2,4 sabendo que r interseta o eixo x no ponto com abcissa nula e a sua projeção horizontal faz, com esse eixo, um ângulo de 50° (ae).
Determina a verdadeira grandeza da amplitude do ângulo formado entre a recta r e o plano frontal de projecção.

ii4011


ii4012
Determina a verdadeira grandeza da amplitude do ângulo formado entre a reta r definida pelos pontos A (-2; 3; 2) e B (-5; 5; 4) e o plano α definido pelos pontos C (1; 6; 1), D (3; 4; 4) e E (6; 4; 1).
Resolve o exercício sem determinar os traços do plano α.

ii4012


ii4019
Determina a verdadeira grandeza da amplitude do ângulo formado entre a reta de perfil a e o plano oblíquo α.
• a reta a pertence ao β1,3 e contém o ponto A com abcissa nula e 4 de afastamento;
• os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 40° (ad) e 60° (ad) com o eixo x e são concorrentes no ponto N com 6 de abcissa.

ii4019


ii4024
Determina a verdadeira grandeza da amplitude do ângulo formado entre a reta oblíqua r e o plano passante δ.
a reta r é paralela ao β2,4, contém o ponto R (0; 3; 2) e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30° (ae);
o plano δ é definido pelo eixo x e pelo ponto A (4; 4; 7).

ii4024



10. Retilíneo de um diedro

ii4025 (exame de 2005 — 1.ª fase)
Determina, graficamente, a amplitude do diedro formado pelos planos α e β.
Os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ae) e 30° (ad) com o eixo x e intersetam-se num ponto A com 4 de abcissa.
Os traços do plano β intersetam-se num ponto B com -4 de abcissa.
O traço horizontal do plano β é paralelo ao traço horizontal do plano α e o seu traço frontal é perpendicular ao traço frontal do plano α.

ii4025


ii4026 (exame 2010 — 2.ª fase)
Determine, graficamente, a amplitude do diedro formado pelos planos δ e θ.
o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projeção, são coincidentes;
o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
o plano θ é de topo, contém o ponto R (-5; 6; 5) e faz um diedro de 50°, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção.

ii4026


ii4027
Determine, graficamente, a amplitude do diedro formado pelos planos δ e θ.
o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes;
o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
o plano θ é vertical, contém o ponto R (-5; 6; 5) e faz um diedro de 50°, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projeção.

ii4027


© José-António Moreira