ORTOGONALIDADE

1. Retas perpendiculares (complanares)
2. Reta ortogonal a um plano
3. Plano ortogonal a uma reta
4. Retas ortogonais (enviesadas)
5. Planos ortogonais (definidos ou não pelos traços)


1. Retas perpendiculares (complanares)

2011
Desenha as projeções de duas retas, h e r.
• as retas são concorrentes no ponto P (0; 3; 3);
• a reta r interseta o plano frontal de projeção no ponto F, com -5 de abcissa e 7 de cota;
• a reta h é horizontal e é perpendicular à reta r.


2012
Desenha as projeções de duas retas concorrentes, f e r.
• a reta f é frontal, faz um ângulo de 35° (ae) com o plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal é o ponto H (-4; 3; 0);
• a reta r contém o ponto R (-1; 1; 7) e é perpendicular à reta f.


2013
Desenha as projeções de uma reta horizontal h ortogonal à reta r.
• a reta r é paralela ao β2,4 contém o ponto R (2; -1; 5) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 55° (ad) com o eixo x;
• a reta h interseta o plano frontal de projeção no ponto F, com -1,5 de abcissa e 3 de cota.

2014
Desenha as projeções de uma reta frontal f ortogonal à reta s.
• a reta s é paralela ao β1,3 contém o ponto S (-2; 4; 2) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 50° (ae) com o eixo x;
• a reta f contém o ponto A (4; 3; -1).

2015
Desenha as projeções de duas retas, f e r, contidas num plano oblíquo α.
• o plano α interseta o eixo x num ponto com -1,5 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 35° (ae) e 60° (ad) com esse eixo;
• a reta f é frontal e tem 3 de afastamento;
• a reta r é perpendicular à reta f e o seu traço frontal é o ponto F, com 2 de cota.


2016
Desenha as projeções de duas retas, v e r.
• as retas são concorrentes no ponto A (0; 3; 4);
• a reta v é vertical;
• a reta r é perpendicular à reta v e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x.
Determina os traços, nos planos de projeção, do plano que contém as retas v e r.


2017
Desenha as projeções de duas retas concorrentes, h e r.
• a reta r está contida no β
2,4 interseta a eixo x num ponto com 3 de abcissa e a sua projeção horizontal faz, com esse eixo, um ângulo de 40° (ae);
• a reta h é horizontal, tem 3 de cota e é perpendicular à reta r.
Determina os traços, nos planos de projeção, do plano α que contém as retas h e r.


2. Reta ortogonal a um plano

2018
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal ao plano oblíquo α.
• o plano α interseta a eixo x num ponto com 3 de abcissa e as seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulas de 55° (ad) e 40° (ad) com esse eixo;
• a reta p contém o ponto A (2; 5; 6).


2019
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal ao plano oblíquo δ.
• o traço horizontal do plana δ contém o ponto R (-1; 2; 0) e interseta o eixo x num ponto com 2 de abcissa;
• o traço frontal do plano δ faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x;
• a reta p contém o ponto P (0; 6; 4).


2020
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal ao plano de topo θ.
• ο planο θ faz um diedro de 40° (ad) cοm ο planο hοrizοntal de projeçãο e interseta a eixο x nο pοntο de abcissa nula;
• a reta p cοntém ο pοntο A (2; 3; 6).


2021
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal ao plano vertical δ.
• o plano δ contém a.reta r definida pelos pontos A (2; 3; 2) e B (-2; -4; 4);
• a reta p contém o ponto A.


2022
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal a um plano α.
• o plano α é definido por duas retas, h e f, concorrentes no ponto P (3; 3; 4);
• a reta h é horizontal e faz um ângulo de 35° (ae) com o plano frontal de projeção;
• a reta f é frontal e faz um ângulo de 60° (ae) com o plano horizontal de projeção;
• a reta p contém o ponto A (-3; 7; 5).


2023
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal a um plano α.
• o plano α é definido por duas retas paralelas, a e b;
• a reta a contém o ponto A (1; 1; 5) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 30° (ae) e 45° (ad) com o eixo x;
• a reta b contém o ponto B (1; 4; 3);
• a reta p contém o ponto P (-3; 3; 4).
Resolve o exercício sem determinar os traços do plano α.


2024
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal a um plano α.
• o plano α é definido pelos pontos A, B e C;
A (4; 6; 2), B pertence ao plano frontal de projeção e tem 1 de abcissa e 5 de cota e C pertence ao β
1,3 e tem -2 de abcissa e 2 de afastamento;
• a reta p contém o ponto P (-3; 7; 6).
Resolve o exercício sem determinar os traços do plano α.


2025
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal a um plano α.
• o plano α é definido por uma das suas retas de maior declive, d;
• a reta d contém o ponto A (0; 4; 2) e o seu traço horizontal tem -2,5 de abcissa e 2 de afastamento;
• a reta p contém o ponto P do β
1,3 com abcissa nula e 6 de afastamento.

2026
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal a um plano α.
• o plano α é definido por uma das suas retas de maior inclinação i;
• a reta i é paralela ao β
2,4 contém o ponto A (0; 2; 3) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 35° (ad) com o eixo x;
• a reta p contém o ponto P (-3; -2; 4).


2027
Desenha as projeções de uma reta p ortogonal ao plano de rampa ρ.
• o traço horizontal do plano ρ tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 3 de cota;
• a reta p contém o ponto A (2; 5; 6).


2028
Determina os traços de uma reta p nos planos de projeção.
• a reta p contém o ponto R (0; 2; 3) e é ortogonal ao plano de rampa ρ;
• os traços horizontal e frontal do plano ρ têm, respectivamente, 3 de afastamento e -4,5 de cota.


2029
Determina os traços horizontal e frontal de uma reta de perfil p ortogonal ao plano passante ρ.
• o plano ρ é definido pelo eixo x e pelo ponto A (2; 3; 4);
• a reta p contém o ponto P (0; 5; 1,5).


2030
Determina os traços de uma reta de perfil p nos planos de projeção, sabendo que p contém o ponto P (0; 2; 5) e é ortogonal ao β1,3.

2031
Determina os traços de uma reta de perfil p nos planos de projeção, sabendo que p é ortogonal ao β2,4 e contém o ponto R (2; 1,5; 7).

ii2008 (Exame 2006 - 2.ª fase)
Representa, pelas suas projecções, a recta p, ortogonal ao plano oblíquo α, sabendo que:
o plano oblíquo α é definido pelos pontos A (5; -6; 6), B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5 ; 3);
a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10).

ii2008


3. Plano ortogonal a uma reta

2032
Desenha as projeções de uma reta passante r, sabendo que r contém o ponto A (2; 3; 2) e interseta o eixo x num ponto com 6 de abcissa.
Representa o plano α que contém o ponto P (-1; 2; 6) e é ortogonal à reta r.
Determina os traços do plano α nos planos de projeção.

ii2032



2033
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α ortogonal à reta r.
• a reta r contém o ponto R (-2; 1,5; 4) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 30° (ae) e 45° (ae) com o eixo x;
• o plano α contém o ponto P (0; 5; 2).

ii2033



2034
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α ortogonal à reta r.
• a reta r contém os pontos A (0; 4; 1) e B (-3; 2,5; 4);
• o plano α contém o ponto P (2; 2; 6).


2035
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α ortogonal à reta s.
• a reta s contém os pontos R (0; 1; -3) e S (3,5; 4; 3);
• o plano α contém o ponto A (-2; -2; 5).


2036
Determina os traços de um plano α nos planos de projeção.
• o plano α é 
ortogonal à reta a;
• a reta a é paralela ao β
2,4 e o seu traço frontal é o ponto F (0; 0; 5);
• a projeção horizontal da reta a faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x;
• o plano α contém o ponto α do β
2,4 com abcissa nula e 3 de cota.

2037
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α ortogonal à reta de perfil p.
• a reta p contém os pontos A (1; 3; 2) e B do β
1.3 com 5 de afastamento;
• o plano α contém o ponto P (4; 2; 3).


2038
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α ortogonal à reta p.
• a reta p é de perfil e o seu traço frontal é o ponto F (2; 0; 3,5);
• a reta p interseta o plano α no ponto I, com 3 de afastamento e 2 de cota.


2007
Determina os traços horizontal e frontal de um plano α.
o plano α é ortogonal à recta recta r;
a recta r contém o ponto A (3; 3; 2) e as suas projecções horizontal e frontal fazem, ambas, ângulos de 40° (ad) com o eixo x;
o plano α contém o ponto P (-2; 2; 4).

ii2007



4. Retas ortogonais (enviesadas)

2039 Desenha as projeções de uma reta r ortogonal à reta a.
• a reta a contém os pontos A (-4; 1; 2) e B do β1.3 com -2 de abcissa e 4 de afastamento;
• a reta r contém o ponto R (0; 2; 3) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 35° (ae) com o eixo x.


2040
Desenha as projeções de uma reta r ortogonal à reta s.
• a reta s contém o ponto S (0; 5; 2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 60° (ae) e 45° (ae) com o eixo x;
• a reta r contém o ponto P (-4; 4; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 55° (ae) com o eixo x.

ii2040

Se uma reta é ortogonal a um plano é ortogonal a todas as retas desse plano.
Usando este ponto de partida, começamos por desenhar um plano ortogonal à reta s, contendo o ponto P e determinado pelas retas h e f — h1 perpendicular a s1 e f2 perpendicular a s2.
Desenhou-se, depois uma outra reta horizontal deste plano (no caso, o traço horizontal).
Tendo a reta r de pertencer a este plano, o seu traço horizontal tem de estar sobre o traço horizontal do plano. Assim, o ponto P e o ponto H' determinam a reta pretendida.

2041
Desenha as projeções de uma reta r  ortogonal à reta s.
• a reta s é paralela ao β1.3 contém o ponto P (-2; 3,5; 2) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 55° (ae) com o eixo x
• a reta r contém o ponto P e o seu traço horizontal tem 8 de afastamento.

2042
Desenha as projeções de uma reta r ortogonal à reta a
• a reta a contém os pontos A (4; 2; 1) e B (0; 5; 4); 
• a reta r contém o ponto P (2,5; 5; 6) e o seu traço frontal tem 2 de cota.

2043
Determina os traços, nos planos de projeção, de uma reta p ortogonal à reta a
• a reta a contém o ponto A (-1; 4; 4) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 35° (ae) e 60° (ad) com o eixo x
• a reta p é de perfil e contém o ponto P (3; 3; 4).

2044
Desenha as projeções de uma reta r ortogonal à reta de perfil p
• a reta p contém os pontos A (3; 3,5; 2) e B, com 6 de afastamento e 4 de cota; 
• a reta r é concorrente com a reta p no ponto A e a sua projeção frontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x.



5. Planos ortogonais (definidos ou não pelos traços)

2045
Desenha as projeções de uma reta oblíqua r e os traços de um plano δ.
• a reta r contém o ponto P (2; 2,5; 4) e o seu traço horizontal tem abcissa nula e 1,5 de afastamento;
• o plano 
δ interseta o eixo x num ponto com -5 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 45° (ae) e 55° (ae) com esse eixo.
Representa o plano α que contém a reta r e é ortogonal ao plano 
δ. Determina os traços do plano α nos planos de projeção.

ii2045



2046
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α ortogonal ao plano β.
• os traços horizontal e frontal do plano β fazem, respectivamente, ângulos de 40° (ae) e 60° (ad) com o eixo x e intersetam-se num ponto com -1 de abcissa;
• o plano α contém o ponto P (-1; 2; 3) e interseta o eixo x num ponto com 5 de abcissa.


2047
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano β ortogonal ao plano α.
• o plano α interseta o eixo x num ponto com 6 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 40° (ad) e 45° (ad) com esse eixo;
• o plano β contém a reta frontal f;
• a reta f contém o ponto P (-2; 2; 4) e faz um ângulo de 60° (ad) com o plano horizontal de projeção.


2048
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α ortogonal ao plano vertical β.
• o plano β faz um diedro de 40° (ae) com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com -4 de abcissa;
• o plano α contém a reta r pertencente ao β
2,4;
• a reta r contém os pontos R (4; 0; 0) e S, com 2 de abcissa e 3 de cota.


2049
Determina os traços de um plano de rampa ρ nos planos de projeção.
• o plano ρ contém o ponto P (1; 2; 4) e é ortogonal ao plano oblíquo α;
• o plano α interseta o eixo x num ponto com -5 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 35° (ae) e 50° (ae) com esse eixo.


2050
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α ortogonal ao plano θ.
• o plano θ é definido por uma das suas retas de maior inclinação i;
• a reta i contém o ponto A (-3; 2; 2) e o seu traço horizontal é o ponto H (-1; 5; 0);
• o plano α contém a reta horizontal h;
• a reta h contém o ponto P (3; 5; 2) e faz um ângulo de 65° (ae) com o plano frontal de projeção.


2051
Determina o traço frontal de um plano oblíquo α.
• o plano α é ortogonal ao plano de rampa ρ;
• o traço horizontal do plano ρ tem 6 de afastamento e o traço frontal tem 3 de cota;
• o traço horizontal do plano α interseta o eixo x num ponto com 3 de abcissa e faz, com esse eixo, um ângulo de 30° (ad).


2052
Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α ortogonal ao plano θ.
• o plano θ é de rampa e os seus traços horizontal e frontal têm, respectivamente, 3 de afastamento e -5 de cota;
• o plano α contém a reta passante a;
• a reta a contém o ponto A (0; 2; 3) e interseta o eixo x num ponto com 5 de abcissa.

ii2052



2053
Determina os traços, nos planos de projeção, de dois planos de rampa ortogonais, α e β.
• a reta de interseção i dos planos α e β tem 3 de afastamento e 2 de cota;
• o traço horizontal do plano α tem 7 de afastamento.

ii2053



2054
Determina os traços do plano de rampa α nos planos de projeção, sabendo que o plano α contém o ponto R (0; 2; 5) e é ortogonal ao β2,4.

ii2054



2055
Determina os traços de um plano oblíquo α nos planos de projeção.
• o plano α é ortogonal ao β
1,3 e contém a reta r;
• a reta r contém o ponto A (2; 3; 4) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 50° (ad) e 35° (ad) com o eixo x.

ii2055



2056
Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, αδ.
• o plano α é ortogonal ao β
1,3 e o seu traço horizontal contém o ponto P (0; 3; 0) e faz um ângulo de 30° (ae) com o eixo x;
• o plano 
δ é ortogonal ao β2,4 interseta o eixo x no ponto de abcissa nula e o seu traço frontal faz, com esse eixo, um ângulo de 55° (ad).

ii2056


© José-António Moreira